MEDIAS DE TENDENCIA CENTRAL Y MEDIDAS DE VARIABILIDAD

lunes, 19 de enero de 2015

VARIANZA

VARIANZA

Es una medida de dispersión definida como

la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha

variable respecto a su media.

Está medida en unidades distintas de las de la variable.

Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la

varianza se expresa en metros al cuadrado.

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza,

es una medida de dispersión alternativa expresada en las

mismas unidades de los datos de la variable objeto de

estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0.

Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy

influida por los valores atípicos y no se aconseja su uso

cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen

colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de

otras medidas de dispersión más robustas.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

La desviación estándar (DS/DE),

también llamada desviación típica, es una medida

de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto

tienden a alejarse los valores concretos del promedio en

una distribución. De hecho, específicamente, el cuadrado

de la desviación estándar es "el promedio del cuadrado de

la distancia de cada punto respecto del promedio". Se

suele representar por una S o con la letra sigma, $\sigma^{}_{}$ .

La desviación estándar de un conjunto de datos es una

medida de cuánto se desvían los datos de su media. Esta

medida es más estable que el recorrido y toma en

consideración el valor de cada dato.

EJEMPLO:

Aquí se muestra cómo calcular la desviación estándar de un conjunto de datos. Los datos representan la edad de los miembros de un grupo de niños: ', 7 }

1. Calcular el promedio o media aritmética $\overline{x}$ .

$\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$ .

En este caso, N = 6:

$x_1 = 4\,\!$

$x_2 = 1\,\!$

$x_3 = 11\,\!$

$x_4 = 13\,\!$

$x_5 = 2\,\!$

$x_6 = 7\,\!$

$\overline{x}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 x_i$        Sustituyendo N por 6

$\overline{x}=\frac{1}{6} \left ( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 \right )$

$\overline{x}=\frac{1}{6} \left ( 4 + 1 + 11 + 13 + 2 + 7 \right )$

$\overline{x}= 6,33$

2. Calcular la desviación estándar $\sigma\,\!$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{6-1} \sum_{i=1}^6 (x_i - \overline{x})^2}$        Sustituyendo N por 6;

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{5} \sum_{i=1}^6 (x_i - 6,33)^2}$        Sustituyendo $\overline{x}$ por 6,33

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{5} \left [ (4 - 6,33)^2 + (1 - 6,33)^2 + (11 - 6,33)^2 + (13 - 6,33)^2 +(2 - 6,33)^2 + (7 - 6,33)^2 \right ] }$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{5} \left [ (-2,33)^2 + (-5,33)^2 + 4,67^2 + 6,67^2 + (-4,33)^2 + 0,67^2 \right ] }$

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{5} \left ( 5,43 + 28,4 + 21,8 + 44,5 + 18,7 + 0,449 \right ) }$

$\sigma = \sqrt{\frac{119,28}{5}}$

$\sigma = \sqrt{23,856}$

$\sigma \approx 4,89\,\!$ .

RANGO INTERCUARTIL

RANGO INTERCUARTIL

El rango intercuartíl es una medida de variabilidad

adecuada cuando la medida de posición central empleada

ha sido la mediana. Se define como la diferencia entre el

tercer cuartil (Q₃) y el primer cuartil (Q₁), es decir: RQ = Q₃ -

Q₁. A la mitad del rango intercuartil se le conoce como

desviación cuartil (DQ): DQ = RQ/2= (Q₃ - Q₁)/2.

Se usa para construir los diagramas de caja y bigote (box

plots) que sirven para visualizar la variabilidad de una

variable y comparar distribuciones de la misma variable;

además de ubicar valores extremos.

FORMA DE CALCULAR:

Se obtiene al evaluar:

Q3 - Q1

Donde:

Q3 es cuartil tercero

Q1 es cuartil primero.

MEDIANA

MEDIANA

la mediana representa el valor de la variable de

posición central en un conjunto de datos ordenados.

Una ventaja de la mediana es que es sensible o se ve

afectada cuando hay cambios en el numero de datos

Para Calcular:

Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:

Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.

Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.

A continuación veamos cada una de ellas.

Datos sin agrupar

Sean $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n$ los datos de una muestra ordenada en

orden creciente y designando la mediana como $M_e$ ,

distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición $(n+1)/2$ una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central.

Es decir: $M_e=x_{(n+1)/2}$ .

Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: $x_1 = 3$ ,
$x_2 = 6$ , $x_3 = 7$ , $x_4 = 8$ , $x_5 = 9$ => El valor central es el tercero:
$x_{(5+1)/2} = x_3 = 7$ . Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo ( $x_1$ , $x_2$ ) y otros dos por encima de él ( $x_4$ , $x_5$ ).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando $n$ es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones $n/2$ y $n/2+1$ .
Es decir: $M_e = (x_{\frac{n}{2}} + x_{{\frac{n}{2}}+1})/2$ .

Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: $x_1 = 3$ , $x_2 = 6$ , $x_3 = 7$ , $x_4 = 8$ , $x_5 = 9$ , $x_6 = 10$ . Aquí dos valores que están por debajo del $x_{\frac {6} {2}} = x_3 = 7$ y otros dos que quedan por encima del siguiente dato $x_{{\frac {6} {2}}+1} = x_4 = 8$ .

Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: $M_e = \frac {x_3 + x_4}{2} = \frac {7 + 8} {2}=7,5$ .

Datos agrupados

Al tratar con datos agrupados, si ${{\frac {n} {2}}}$ coincide con el valor de
una frecuencia acumulada, el valor de la mediana
coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

$\frac{N_i-N_{i-1} }{a_i-a_{i-1} }=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{p}\Rightarrow p=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{N_i-N_{i-1} }(a_i-a_{i-1})$

Donde $N_{i}$ y $N_{i-1}$ son las frecuencias absolutas acumuladas tales que $N_{i-1} < {{\frac {n} {2}}} < N_{i}$ , $a_{i-1}$ y $a_{i}$ son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y $M_e=a_{i-1}+p$ es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que $a_{i} - a_{i-1}$ es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

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